Материалы сайта
Это интересно
Проективная геометрия
Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий, здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид дробно-линейной функции (1) х/= ? х+ ? / ? х+? , причем, чтобы существовало обратное проективное преобразование, необходимо, чтобы величина ?? - ?? ? 0. Запишем преобразование (1) в виде функции х/= f(x). Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х/= f(x), x//= f(x/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного многообразия (на прямой) выполняется соотношение x//= f(x/)= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное отображение называется инволюционным или инволюцией. Инволюция характеризуется еще и тем, что x= f(x/), т. е. обратное отображение х/= х совпадает с исходным х= х/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1) выразим х через х/ : (? x /- ? )x= - ? x/ + ? ? x= - ? x/+? / ? x /- ? (2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо: а) ? =- ? , ?, ? - любые б) ? = ?, ? = ? = 0 - но это тождественное отображение, которое исключим из рассмотрения. Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х/= ? х+ ? /? х- ® , где -?2- ?? ? 0 обозначим ? = -?2- ?? Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х/= ? х+ ? /? х- ® . Решим последнее уравнение относительно х (3) ? х2-2 ? х- ?= 0 - квадратное относительно х. Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть ?2+?? =-?. Если -?<0, (дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --?2-?? >0). Если - ? >0, то есть ?<0 , -?2-?? <0 , то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки- называется такая инволюция гиперболической. Если ? ’0, то есть -?2-?? ’0 , параболическая инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как оно не взаимно однозначно. Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек. Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой. Оно определяется так :Пусть М1,М2,M3,M4-четыре точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t1,,t2,t3,t4, координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4 ) не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на прямой. Эта величина обозначается (М1 М2 M3 M4)= (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4 ) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ). Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два свойства СОЧТ. 1) (М1 М2 M3 M4)=(M3M4M1M2) 2) (М1 М2 M3 M4)= 1/ (М1 М2 M3 M4) то есть СОЧТ не меняется при перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри какой-нибудь пары. Важная теорема проективной геометрии гласит. При любом проективном отображении прямой а на прямую а/ сложное отношение произвольной группы точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному отношению соответствующих им точек М1/ M2/ M3/ M4/ прямой а/ . Частным ее случаем является утверждение: В плоскости ? заданы две прямые а и а/ ,задана произвольная точка S ,принадлежащая плоскости ? ,но не лежащая на прямых а и а/. Тогда, сложное отношение любой четверки точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному отношению их проекций М1/ М2/ М3/ М4/ из центра S на прямую а/ . [pic] Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского пучка из четырех лучей m1 m2 m3 m4 Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное отношение. [pic] (М1 М2 М3 М4)=инвариант проективной геометрии или, что тоже самое (m1 m2 m3 m4 ) - инвариант проективной геометрии Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать, что если пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С,D, то сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении [pic] АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты ti точек (1,2,3,4) соответствует ( A , B , C , D ) (t3 - t1)/(t1 - t4) = (t2 - t3)/(t2 - t4) или (t3 - t1)/(t2 - t3) = - (t4 - t1)/(t2 - t4) или ((t3 - t1)/(t2 - t3))/((t4 - t1)/(t2 - t4))=-1 [pic] Матрицы проективных преобразований. Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром проекции на оси z (на расстоянии zq от начала координат). Пусть плоскостью проекции является координатная плоскость XOY P(x,y,z)-точка объекта , P/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно, что координаты точки-проекции P/ есть X=x/(1-z/zq) , Y=y/(1-z/zq) (*) Однородные координаты точки P (x,y,z,1) - P/(x/,y /,z/,w /) ,w ?0. Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных координатах: 1 0 0 0 P./=MПр* Р МПр = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/zq 1 x/ 1 0 0 0 x x Неоднородные координаты точки P/ x/ 1 0 0 0 x x y / = 0 1 0 0 y = y получаем отсюда : X=x/(1-z/zq ) , z/ 0 0 0 0 z 0 Y=y/(1-z/zq ) ,Z=0 w 0 0 -1/zq 1 1 1-z/zq Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - ( однородные координаты (0,0,1,0). Вместо МПр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без проецирования на плоскость XOY). 1 0 0 0 0 0 Неоднородные координаты проекции 0 1 0 0 0 = 0 этой точки (0 ,0 , -zq ) 0 0 1 0 * 1 1 0 0 -1/zq 1 0 -1/zq Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0,0,-zq ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода. Аналогично, матрицы 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 * 0 0 -1 0 -1/xq 0 0 1 0 -1/yq 0 1 описывают проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY. Это все преобразованные с одной точкой схода. Матрица 1 0 0 0 1 0 0 0 преобразование 0 1 0 0 0 1 0 0 с двумя точками 0 0 1 0 0 0 1 0 А это с тремя схода -1/xq -1/yq 0 1 1/xq -1/yq -1/zq 1 Групповые свойства проективных преобразований Группа - есть совокупность объектов произвольной природы, которые называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, ..., удовлетворяющая требованиям следующих аксиом: 1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке, сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же совокупности. Символически это записывают так c=ab, элемент c называется произведением (композицией) элементов a и b. Иначе: композиция двух любых элементов группы даёт элемент, принадлежащий этой же группе. 2. Закон ассоциативности: Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение (ab)c=a(bc) 3. Существует такой элемент (, что для любого элемента a группы выполняется ae=a. Элемент e называется единичным элементом. 4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что ax=e. Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a-1, т. е. X= a-1. Отсюда следуют такие правила: a) если ax=e, то и xa=e б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается “левая” и “правая” единицы в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно к представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных координатах, то можно сказать, что совокупность проективных преобразований составляет группу: 1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного преобразования; 2) (c1c2)c3= c1(c2c3) 3) единичный элемент 1 0 .. 0 0 1 .. 0 E = - - - - 0 .. .. 1 4) условием существования обратного элемента является условие существования обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие является требованием проективного преобразования. Группу проективных преобразований называют проективной группой. Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований, соответствующих конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических преобразований. 1 Проективная группа Матрица (n+1)(n+1) в R1, R2, R3, ...,Rn удаление Ґ удалённых элементов (соответствующее разрезы) 2 Аффинная группа Матрица n(n+1) Введение свойства перпендикулярности 3 Ортоганальная Паралельный Гомотетии группа перенос (вращений) Для однозначного определения матрицы преобразования 1го уровня необходимо (n+2) точки. Для однозначного определения матрицы преобразования 2го уровня необходимо (n+1) точка. Для однозначного определения матрицы преобразования 3го уровня необходимо n точек. 2 уровень A2 Y C2 C1 B2 (2 A1 O (1 B 3 уровень Y Y Y A2 A2 n A2 j A1 A1 O X O X O X j - угол поворота n - вектор Гомотетия плоско параллельного k=OA2/OA1 переноса Матрицы конкретных проективных преобразований. Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого 1) На плоскости. Перенос на вектор n (a,b) P/=M(n )P P, P/ - однородные координаты Поворот на угол ? против часовой стрелки вокруг начала координат. Маштабирование относительно начала координат. неоднородное 2) В пространстве Вращение относительно оси Z(угол ? ) относительно оси X(угол ? ) относительно оси y(угол ? ) Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований. Перспективные преобразования. 1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях). А) На оси Z куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности т.Аz(0,0,1,0) В неоднородных координатах. т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-zq) б) на оси x Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0) преображаются в т.(-xq , 0, 0) в) На оси у т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-yq,0) г) С двумя точками схода , с тремя. ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]