Материалы сайта
Это интересно
Математические модели естествознания
Возрастание средней приспособленности Выше средней приспособленностью в n -ом поколении была названа величина [pic]. Она интерпретировалась, как полная вероятность того, что особь n -ого поколения доживает до этапа размножения. Покажем, что средняя приспособленность -неубывающая функция от номера поколения n. Таким образом, эволюция происходит в сторону возрастания приспособленности популяции, что полностью соответствует теории Ч. Дарвина. Запишем [pic] как функцию от [pic]: [pic] и вычислим ее производные: [pic], [pic]. Таким образом, экстремальное значение [pic] достигается при [pic] (23) и является максимумом при [pic] и минимумом, если [pic]. Рассмотрим первый случай, когда [pic]. Квадратичная функция [pic] не имеет экстремума на интервале [pic]. Действительно, пусть для определенности [pic]. Тогда из (23) следует, что экстремальная точка [pic]. Для всего интервала [pic] производная [pic] имеет один и тот же знак. При [pic] имеем [pic]. Следовательно, функция [pic] на интервале [pic] монотонно растет. Напомним, что в рассматриваемом случае для траектории [pic] отображения [pic] также монотонно [pic] при [pic]. В результате [pic]. При этом [pic]. Второй случай [pic] подобен первому. Функция [pic] на интервале [pic] не имеет экстремума и монотонно убывает. Согласно полученным ранее результатам, для траектории отображения имеем: [pic]. В результате последовательность [pic] оказывается монотонно растущей: [pic]. При этом [pic] при [pic]. В третьем случае ([pic], [pic]) экстремальная точка [pic] является точкой максимума, т.к. [pic]. На интервале [pic] функция [pic] монотонна растет, а на интервале [pic] монотонно убывает. Одновременно, точка [pic], согласно (18), является устойчивым состоянием равновесия [pic] (состояние полиморфизма). Как показано выше, если начальная точка траектории [pic], то для всех ее точек [pic]. Тем самым, последовательность [pic] монотонно растет. Если же начальная точка [pic], то [pic]. Тем не менее, последовательность [pic] по- прежнему монотонно растет, в силу монотоного убывания функции [pic] на соответствующем интервале. Четвертый случай ([pic], [pic]) аналогичен предыдущему. Состояние неустойчивого полиморфизма является точкой минимума для средней приспособленности. Траектории (последовательности [pic]) с начальными условиями [pic] монотонно убывают. Одновременно, на соответствующем промежутке также монотонно убывает функция [pic]. В результате последовательность [pic] монотонно растет. Если же [pic], то последовательность [pic] монотонно растет, а вместе с ней и последовательность [pic], т.к. функция [pic] для [pic] монотонно растет. Рисунок иллюстрирует направление поведение средней приспособленности в рассмотренных случаях. [pic] [pic] [pic] [pic] Отметим, что возрастание средней приспособленности можно доказать непосредственно, не разбирая в отдельности каждый случай. Далее, поскольку средняя приспособленность есть ограниченная величина, можно сделать вывод, что последовательность [pic] имеет предел при [pic]. Используя этот факт, еще одним способом можно показать, что все траектории отображения сходятся к состояниям равновесия. Такой прием иногда используется для анализа разностных уравнений. Функцию [pic] пытаются подобрать, используя специфику уравнения. Часто ее называют функцией Ляпунова. Естественно, что функции Ляпунова не всегда существуют. Как уже отмечалось, поведения траекторий может быть весьма сложным. В частности, может оказаться, что уравнение не имеет устойчивых состояний равновесия.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16