Материалы сайта
Это интересно
Теория вероятности и мат статистика
[pic] Рассмотрим случайную величину [pic] Это частость наступления события А в n испытаниях [pic] Используем неравенство Чебышева [pic] где ( - произвольное неотрицательное число Рассмотрим [pic] Получена теорема Бернулли. Частость наступления произвольного события при числе испытаний стремящемся к бесконечности по вероятности сходится к теоретической вероятности наступления события. Обоснование того, что [pic] - частость наступления события A заключается в следующем: с тоски зрения ранее приведенного определения, независимым испытаниям эквивалентны две схемы: . проведение n раз одного и того же испытания . проведение n независимых испытаний над n копиями одного и того же. Аналогия: 100 раз монету подбрасывает 1 человек или 100 человек подбрасывают по одной монете. Закон больших чисел. Рассмотрим независимые: одинаково распределенные случайные величины X1, X2, ..., Xn с конечным мат. ожиданием и дисперсией. [pic] Рассмотрим их среднее арифметическое [pic] Используя вспомогательное неравенство получим [pic] получаем [pic] При числе испытаний, стремящихся к Ґ среднее арифметическое по вероятности сходится к математическому ожиданию. В любом университетском учебнике доказывается сходимость с вероятностью 1. Использование закона больших чисел. Пусть имеется одна случайная величина X, над которой проведено n испытаний. Результаты испытаний [pic] Тогда в силу примечания, сделанного Бернулли, эти n-чисел можно считать результатом одного испытания над n-мерной случайной величиной, у которой Xi независимы и распределены как X, т.е. Тогда [pic] является реализацией следующего [pic] Для [pic] справедлив закон больших чисел, следовательно [pic] является хорошей оценкой величины X. Основы теории характеристических функций Комплексная случайная величина Z определяется с помощью двумерной случайной величины (X,Y) следующим выражением [pic] Операции над комплексными случайными величинами совпадают с операциями над комплексными числами. Рассмотрим скалярную функцию случайных аргументов и числа i. [pic] тогда в теории вероятности математическое ожидание случайной величины вычисляется по тем же формулам, что и [pic], просто i считают постоянным параметром. [pic] Найдем мат.ожидание случайной величины Z. [pic] 1. Для комплексной случайной величины справедливы свойства аддитивности и мультиплекативности мат.ожидания. [pic] 2. Комплексные случайные величины Z1 и Z2 называются независимыми, если независимы между собой двумерные случайные величины [pic], т.е. попарно независимы [pic] Пусть Z1 и Z2 независимые комплексные случайные величины. Найдем мат.ожидание произведения [pic] 3. [pic] а) дискретный случай [pic] б) непрерывный случай Двумерная случайная величина XY имеет плотность вероятности f(x,y). [pic] Характеристической функцией действительной случайной величины X называется функция [pic] Свойства характеристической функции 1. Для дискретного случая [pic] 2. Для непрерывного случая Будем считать, что плотность вероятности f(x) существует, тогда [pic] 3. [pic] Это свойство гарантирует, что характеристическая функция всегда существует [pic] 4. Пусть случайная величина y=ax+b [pic] [pic] 5. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций. Пусть [pic] хi - независимы Тогда [pic] Отсюда [pic] 6. Если у случайной величины Х конечен начальный момент n-го порядка, то а) для [pic] - существуют к-е производные и при этом [pic] б) имеет место разложение [pic] [pic] Для того, чтобы полученное равенство было справедливо, необходимо доказать, что мы можем дифференцировать под знаком интеграла. Для доказательства приведем ряд фактов. 1. Аналог теоремы Либега для интегралов Римана Пусть функция [pic] интегрируема по Риману и при всех х [pic] сходимость в каждой точке известна. Пусть при этом [pic] [pic] - некоторая функция, мажорирующая данную. Пусть при этом конечен интеграл [pic] т.е. [pic] Тогда [pic] 2. Некоторые свойства мат.ожиданий действительной случайной величины 1) Если х>0, то МХ>0 - доказать самим Дискретный случай [pic] Введем случайную величину [pic] [pic] Аналогично [pic] [pic] Очевидно, что [pic] Следовательно [pic] Тогда [pic] Пара [pic] может принимать значения: а) (-Ґ,+Ґ) в этом случае говорится, что МХ не определено. б) (-Ґ,<Ґ) в этом случае говорится, что МХ не ограничено. в) (<Ґ, Ґ) MX=-Ґ (<Ґ, <Ґ) MX<Ґ Очевидно, что [pic] Вывод: Если MX конечно, то конечно и M/X/ MX<Ґ, то M/X/<Ґ Если MXk конечно, то конечно и M/Xk/ MXk<Ґ, то M/Xk/<Ґ 3. Пусть [pic], тогда [pic] [pic] на основании пункта 1. 4. Имеет место очевидное неравенство [pic] 5. Пусть существует [pic], тогда для всех [pic] [pic] Сумма интегралов [pic] Возвращаемся к доказательству. Докажем формулу [pic] Доказательство проведем по мат.индукции. Проверяем при k=0 [pic] формула справедлива. Пусть формула справедлива для k