Материалы сайта
Это интересно
Лабораторные работы по Основам теории систем
Лабораторная работа № 4 Телешовой Елизаветы, гр. 726, Послеоптимизационный анализ задач линейного программирования. 1.Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению свободных членов ограничений. Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова используется сырье из тех же металлов, отличающееся составом и стоимостью. |Сырье |Содержание в процентах | |Компоненты |1 |2 |3 |4 |5 | |Свинец |10 |10 |40 |60 |70 | |Цинк |10 |30 |50 |30 |20 | |Олово |80 |60 |10 |10 |10 | |Стоимость, у. |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 | |Е. | | | | | | Определить, сколько нужно взять сырья каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова не более 30%, цинка не менее 10%, свинца не более 40%. Математическая модель: Пусть хi – доля сырья i-го вида в единице полученного сплава. Тогда функция цели (себестоимость единицы сплава в у.е.) запишется следующим образом: [pic]. Система ограничений будет иметь вид: [pic] Запишем систему в каноническом виде: [pic] Оптимальная симплекс-таблица: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |M |M | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |0 |X8 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,46|0 |0,12 | |5,8 |X3 |-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1 |0 |0,54 |-1 |0,32 | | |F |-0,02|0 |0 |-0,2 |-1,7 |-2,6 |0 |0 |-6,06|0 |5,28 | Оптимальное решение: [pic] и оптимальное значение целевой функции: [pic]. Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения единицы сплава минимальной себестоимости необходимо взять 40% сырья №2 и 60% сырья №3. При этом сплав содержит ровно 30% олова, более 20% (точнее, 42%) цинка и менее 40% (28%) свинца. Минимальная себестоимость единицы сплава составляет 5,28 у.е. Оптимальные двойственные оценки [pic]. Теперь найдём область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений. Как известно, область устойчивости двойственных оценок – это область изменения свободных членов ограничений, при которой двойственные оценки не меняются. Неизменность двойственных оценок говорит о том, что не меняют своих номеров базисные и свободные переменные в решении. В связи с вычислением интервалов устойчивости необходимо сделать замечание о знаках неравенств. Мы помним, что изначально их изменение мы учитывали (< на >), но знаки самих неравенств не меняли. Сейчас мы также не будем менять знаки второго и четвёртого неравенств, но примем во внимание обратный знак [pic] при расчёте конкретных значений. (Это делается для более наглядной экономической интерпретации интервалов устойчивости.) Пусть свободные члены изменились на [pic],[pic],[pic] и [pic] соответственно. Тогда оптимальное решение новой задачи (базисные компоненты) можно найти как: [pic]. Базисное решение вычисляется через матрицу, обратную к базисной, и свободные члены ограничений. Из оптимальной симплекс-таблицы получим матрицу, обратную к базисной, и оптимальное решение (базисные компоненты): [pic]=>[pic] Все элементы решения должны быть неотрицательны, иначе решение будет недопустимым, т.е. базисное решение остаётся оптимальным до тех пор, пока оно допустимое. Область устойчивости следующая: [pic]. Теперь найдём интервалы устойчивости (интервал устойчивости двойственных оценок к изменению правой части ограничения или i-го ресурса – такое множество i–го ресурса, при котором двойственные оценки не меняются): 1)[pic],[pic]: [pic] => [pic],[pic] 2)[pic],[pic]: [pic] => [pic],[pic] 3)[pic],[pic]: [pic] => [pic],[pic]. 4)[pic],[pic]: [pic] => [pic],[pic]. Полученные результаты экономически означают, что свободный член в первом ограничении может меняться от 0,5 до 1,26, но экономического смысла это ни какого не имеет, т.к. сумма составляющих долей сплава всегда 100%. Содержание олова в новом сплаве варьируется от 10% до 60%, цинка – от нуля ([pic] не имеет экономической интерпретации) до 42% и свинца – от 28% до 100% (аналогично случаю с цинком [pic] не может быть объяснена экономически). Возможны также различные комбинации изменений, которые описывает область устойчивости (интервалы устойчивости являются своеобразными частными случаями области устойчивости). При данных изменениях ресурсов двойственные оценки не изменятся, а значит и номера базисных переменных также не изменятся. Изобразим область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений графически. Для этого, исходя из экономических соображений и наглядности графика, построим его в координатах [pic] и [pic], т.е. [pic]. Получим: [pic] [pic] Пример практического применения интервалов устойчивости. Изменим условие задачи следующим образом: а) содержание олова в новом сплаве не должно превосходить 15%; Интервал устойчивости для олова – это [pic]. 15% или 0,15 входят в этот интервал, следовательно двойственные оценки не изменятся и оптимальное решение будет (при [pic]). [pic]. По третьей теореме двойственности найдём значение критерия при этом решении: [pic] => [pic]. б) содержание цинка должно быть не менее 45%; Интервал устойчивости для цинка - [pic]. Т.к. содержание цинка в сплаве должно быть не более 42%, а т.к. 0,45 не входит в интервал устойчивости двойственных оценок, то двойственные оценки и номера базисных переменных сменятся ([pic]). [pic]. Решение недопустимое. Но если бы оно было допустимым, то оно было бы и оптимальным, а значит, оценки бы удовлетворяли критерию оптимальности. Полученное решение является псевдопланом и можно использовать двойственный симплекс-метод. | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |0 |X8 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,46|0 |0,12 | |5,8 |X3 |-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1 |0 |0,54 |-1 |-0,03| | |F |-0,02|0 |0 |-0,2 |-1,7 |-2,6 |0 |0 |-6,06|0 |5,28 | Определим, какую из переменных выведем из базиса. В данном случае это будет единственная отрицательная переменная [pic]. Введём в базис одну из свободных переменных, у которой коэффициент разрешающей строки отрицателен. Разрешающий столбец выбирается по минимальному по модулю отношению оценок к отрицательным коэффициентам разрешающей строки. Переменой, вводимой в базис будет [pic]. После стандартных преобразований однократного замещения получим новую симплекс-таблицу: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |2 |1 |0 |1 |1,5 |0 |5 |0 |2,5 |-5 |0,25 | |0 |X8 |0,3 |0 |0 |0,5 |0,75 |0 |1,5 |1 |0,35 |-1,5 |0,075| |5,8 |X3 |-1 |0 |1 |0 |-0,5 |0 |-5 |0 |-1,5 |5 |0,75 | |0 |X6 |-0,3 |0 |0 |-0,5 |-0,75|1 |-2,5 |0 |-1,35|2,5 |0,075| | |F |-0,8 |0 |0 |-1,5 |-3,65|0 |-6,5 |0 |2,55 |6,5 |5,475| Как видим, оценки по-прежнему удовлетворяют критерию оптимальности и все базисные переменные неотрицательны, значит, решение допустимое и оптимальное. Новое решение задачи [pic]. Оптимальное значение критерия [pic]. Это означает, что для производства единицы сплава необходимо взять 25% второго сырья и 75% третьего сырья. При этом доля цинка в новом сплаве будет ровно 45%, олова 22,5% и свинца 32,5%. Минимальная стоимость тонны сплава будет 5,475 у.е. в) в новом сплаве должно быть менее 40% олова и более 30% цинка; Запишем область устойчивости двойственных оценок, учитывая новые изменения ([pic]; [pic]): [pic]. Решение является допустимым, а значит, и оптимальным. Значение критерия найдём по третьей теореме двойственности: [pic] => [pic] г) менее 60% олова и более 40% цинка; В данном случае изменения составляют: увеличение содержания олова на 30% и цинка на 30%, т.е [pic] и [pic]. Поэтому [pic] Решение недопустимое, но является псевдопланом, поэтому, руководствуясь рассуждениями, аналогичными пункту б), решим задачу двойственным симплекс- методом. | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |0 |X8 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,46|0 |0,12 | |5,8 |X3 |-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1 |0 |0,54 |-1 |-0,1 | | |F |-0,02|0 |0 |-0,2 |-1,7 |-2,6 |0 |0 |-6,06|0 |5,28 | Оптимальная симплекс-таблица: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |2 |1 |0 |1 |1,5 |0 |5 |0 |2,5 |-5 |0.5 | |0 |X8 |0,3 |0 |0 |0,5 |0,75 |0 |1,5 |1 |0,35 |-1,5 |0,15 | |5,8 |X3 |-1 |0 |1 |0 |-0,5 |0 |-5 |0 |-1,5 |5 |0,5 | |0 |X6 |-0,3 |0 |0 |-0,5 |-0.75|1 |-2.5 |0 |-1.35|2,5 |0,25 | | |F |-0,8 |0 |0 |-1,5 |-3,65|0 |-6,5 |0 |2,55 |6,5 |5,15 | Получим следующее решение: [pic], [pic]. Таким образом, для изготовления нового сплава необходимо взять 50% сырья №2 и 50% сырья №3. Задача анализа дополнительно закупаемых объёмов ресурсов с целью обеспечения наибольшей эффективности планирования. Предположим, что появилась возможность покупать сырьё у других поставщиков по более низкой цене: цинк по 2 у.е., а за олово и свинец, т.к. согласно экономическому смыслу задачи они являются "антиблагами", мы получаем большую доплату от их поставщика: 1,5 у.е. и 0,5 у.е. соответственно. Руководитель предприятия выделил на закупку ресурсов 3 у.е. Решение: По ранее полученным результатам мы знаем, что предприятие тратит минимум средств (5,28 у.е.) когда в полученном сплаве ровно 30% олова, 42% цинка и 28% свинца (будем считать для удобства, что для производства 10 тонн сплава необходимо 3 тонны олова, 4,2 тонны цинка и 2,8 тонн свинца). Т.к. олово и свинец мы получаем с доплатой, то возьмём их в полном объёме, необходимом для производства сплава. От "покупки" олова мы получим [pic], а от свинца – [pic], т.е. всего 5,9 у.е. (в связи с их доходностью, а не убыточностью временно исключим их из рассмотрения). Будем вести анализ закупок цинка. На первой итерации мы не закупаем цинк, т.к. в этом случае он бы приносил больше убытка (двойственная оценка равна нулю по сравнению с предлагаемой ценой в 2 у.е.). Решив новую задачу без производства олова и свинца, мы безусловно выйдем за границы области устойчивости двойственных оценок. Кроме того, сменится решение: двойственная оценка цинка увеличится до 3 и новое значение целевой функции понизится до 4 у.е. Вычтем из этих затрат на производство сплава доход от получения олова и цинка: [pic]. Это значит, что на производство сплава мы не только не тратим средств, но и получаем прибыль 1,9 у.е. С увеличением двойственной оценки цинка становится выгодно покупать его. Но мы располагаем суммой денег только 3 у.е. и можем закупить на них 1,5 тонн вместо 2 необходимых. Теперь нам нужно производить только 0,5 тонны цинка. На второй итерации мы получаем такое же решение: критерий равен 4 у.е. и двойственная оценка цинка, которого мы производим 3 тонны, равна 4. Таким образом, мы получили оптимальное решение расходования выделенных 3 у.е.: "закупать" с доплатой 4 тонны олова и 5 тонн свинца и покупать по цене 2 у.е. 1,5 тонны цинка. При таком плане предприятие получит прибыль от производства сплава в размере 1,9 у.е. 2.Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению коэффициентов целевой функции. Определим интервал устойчивости решения к изменению стоимости сырья, то есть, в каких пределах могут меняться цены на сырьё, чтобы план выпуска сплава не изменился. Для этого рассмотрим два случая: изменение цен (коэффициентов целевой функции) происходит на сырьё, использующееся при производстве сплава (базисные переменные) и не использующееся (свободные переменные). 1. Пусть, сначала, меняется цена второго и третьего ресурсов (базисные переменные). а)[pic]. Тогда оптимальная симплекс-таблица будет иметь вид: | |4 |4,|5,|6 |7,5 |0 |0|0|0 |0 | | | | |5 |8 | | | | | | | | | |Св|Б.|X1 |X2|X3|X4 |X5 |X6 |X|X|X9 |X1|В | | |П.| | | | | | |7|8| |0 | | |4,|X2|1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0|0|-0,2 |0 |0,4 | |5 | | | | | | | | | | | | | |0 |X8|0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0|1|-0,46 |0 |0,12 | |5,|X3|-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0|0|1,2 |0 |0,6 | |8 | | | | | | | | | | | | | |0 |X7|0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1|0|0,54 |-1|0,32 | | |F |[pic] |0 |0 |[pic] |[pic] |[pic] |0|0|[pic] |0 |[pic] | Для того, чтобы решение оставалось оптимальным, необходимо, чтобы все оценки были неположительными (для задачи на минимум): [pic] => [pic], [pic] Это значит, что цена первого ресурса может меняться от нуля (бесплатный, недефицитный ресурс) до 4,514 у.е. (отрицательный коэффициент в целевой функции в данном случае не имеет экономического смысла, т.к. свидетельствует о получении ресурса с доплатой. В этом случае ресурс выступает в роли антиблага). Критерий изменится на [pic]. б) [pic] | |4 |4,|5,|6 |7,5 |0 |0|0|0 |0 | | | | |5 |8 | | | | | | | | | |Св|Б.|X1 |X2|X3|X4 |X5 |X6 |X|X|X9 |X1|В | | |П.| | | | | | |7|8| |0 | | |4,|X2|1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0|0|-0,2 |0 |0,4 | |5 | | | | | | | | | | | | | |0 |X8|0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0|1|-0,46 |0 |0,12 | |5,|X3|-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0|0|1,2 |0 |0,6 | |8 | | | | | | | | | | | | | |0 |X7|0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1|0|0,54 |-1|0,32 | | |F |[pic] |0 |0 |[pic] |[pic] |[pic] |0|0|[pic] |0 |[pic] | [pic] => [pic], [pic] Коэффициент критерия может меняться от 5,75 у.е. за одну тонну третьего сырья до 6 у.е. При этом решение будет оставаться оптимальным, а сам критерий изменится на [pic]. 2. Рассмотрим случай со свободной переменной. а) [pic], тогда [pic] Условие оптимальности оценки: [pic] => [pic] => [pic]. В данном случае [pic], [pic]. Таким образом, решение будет оставаться оптимальным, при уменьшении коэффициента при [pic] до 3,98 у.е. за единицу и неограниченном увеличении. Значение целевой функции при этом не изменится. б) Будем руководствоваться аналогичными рассуждениями при вычислении интервалов устойчивости для четвёртого и пятого ресурсов. [pic], [pic] или [pic],[pic]. [pic], [pic] или [pic],[pic] Оптимальные решения при конкретных изменениях коэффициентов. а)стоимость второго сырья увеличилась до 4,5 у.е Интервал устойчивости коэффициента целевой функции [pic]. Цена 4,5 у.е. входит в этот интервал, значит оптимальное решение не изменится, а критерий станет [pic] у.е. б) стоимость третьего сырья уменьшилась до 3 у.е Интервал устойчивости для [pic]. 3 у.е. ([pic]) не принадлежит интервалу, значит какие-то оценки будут не оптимальными: – при [pic]: [pic]; – при [pic]: [pic]; – при [pic]: [pic]; – при [pic]: [pic]; – при [pic]: [pic]; [pic]. Скорректируем симплекс-таблицу: | |4 |4,5 |3 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |0 |X8 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,46|0 |0,12 | |3 |X3 |-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1 |0 |0,54 |-1 |0,32 | | |F |1,1 |0 |0 |-3 |-4,5 |3 |0 |0 |-9,42|0 |3,6 | Через две итерации получаем оптимальную симплекс-таблицу: | |4 |4,5 |3 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4 |X1 |1 |1 |0 |-0,66|-1 |0 |0 |-3,33|1,333|0 |0 | | | | | | |6 | | | | | | | | |0 |X6 |0 |-0,2 |0 |0,466|0,7 |1 |0 |2,333|-1,03|0 |0,2 | |3 |X3 |0 |0 |1 |1,666|2 |0 |0 |3,333|-0,33|0 |0,1 | | | | | | | | | | | |3 | | | |0 |X7 |0 |-0,2 |0 |0,466|0,7 |0 |1 |1,333|-0,03|-1 |0,4 | | | | | | | | | | | |3 | | | | |F |0 |-0,5 |0 |-3,66|-5,5 |0 |0 |-3,33|4,333|0 |3 | Получим оптимальное решение [pic]. Стоимость сплава понизилась до 3 у.е. за единицу. в) издержки на первое сырьё возросли до 6 у.е Стоимость первого сырья может изменяться в пределах [pic]. 6 у.е. входят в интервал, значит оптимальное решение не изменится, а также останется прежнем критерий ([pic],[pic]). г) издержки на четвёртый ресурс упали до 4 у.е. При падении издержек до 4 у.е. за тонну оптимальное решение должно измениться, т.к. нижняя граница интервала устойчивости – 5,8 у.е. Оценка [pic]. | |4 |4,5 |5,8 |4 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |0 |X8 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,46|0 |0,12 | |5,8 |X3 |-0,4 |0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12 |0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4 |1 |0 |0,54 |-1 |0,32 | | |F |-0,02|0 |0 |1,8 |-1,7 |-2,6 |0 |0 |-6,06|0 |5,28 | Оптимальная симплекс-таблица: | |4 |4,5 |5,8 |4 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П.|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | |4,5 |X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2 |0 |0,4 | |4 |X4 |0,6 |0 |0 |1 |1,5 |3 |0 |5 |-2,3 |0 |0,6 | |5,8 |X3 |-1 |0 |1 |0 |-0,5 |-5 |0 |-5 |3,5 |0 |0 | |0 |X7 |0 |0 |0 |0 |0 |-1 |1 |-1 |1 |-1 |0,2 | | |F |-1,1 |0 |0 |0 |-4,4 |-8 |0 |-9 |10,2 |0 |4,2 | С помощью симплекс-метода получаем оптимальное решение [pic] и оптимальное значение критерия [pic]у.е. 3. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению технологических коэффициентов. В этом пункте, как и в предыдущем, можно рассматривать два случая: изменение значений коэффициентов, соответствующих базисным переменным и свободным переменным. Изменение значений коэффициентов при базисных переменных приводит к изменению базисной матрицы, поэтому проанализировать это довольно сложно, ленче решить задачу заново. Следовательно. Рассмотрим случай с изменением коэффициента при свободной переменной. Возьмем, например, как изменяющийся коэффициент [pic]. Его изменение влечёт за собой изменение оценки только свободной переменной [pic]: [pic]. Для того, чтобы решение оставалось оптимальным, необходима неположительность оценки: [pic] т.е. [pic]. Интервал устойчивости коэффициента [pic]. Возьмём также для наглядности изменение ещё одного коэффициента, т.к. полученный выше результат означает, что содержание сплава (т.е всех компонентов) в первом сырье может меняться от 0% до 100% (формально от 0% до 100,3%). [pic], [pic], [pic], [pic], т.е. содержание свинца в первом сырье варьируется в пределах от 0% до 100% ([pic] и [pic] экономического смысла не имеют). В качестве примера только из чистого математического любопытства приведем такую фантастическую ситуацию: содержание сплава в первом сырье возросло до: а) 100,2% [pic],[pic] (входит в интервал устойчивости). Оптимальный план выпуска не изменится [pic] и оптимальное значение целевой функции останется [pic]. б) 110% [pic], [pic] (не входит в интервал устойчивости). [pic]– оценка не оптимальная. Симплекс-методом получим оптимальное решение: [pic], [pic]. 4. Введение новой переменной. Предположим, что появилась возможность использовать новый вид сырья, в котором содержится 40% олова, 60% цинка и 30% свинца, и который обладает стоимостью 3,5 у.е. за единицу. Определим новый план производства. Пусть [pic]– доля шестого (нового) сырья в сплаве. Тогда: [pic] [pic] Решим, выгодно ли использовать новое сырьё. Для этого воспользуемся двойственными оценками [pic]. Доход на тонну нового сырья будет равен [pic], а затраты – 3,5 у.е. (Новое ограничение в двойственной задаче [pic]) Тонна сырья приносит больше дохода, чем издержек на 1 у.е., поэтому будем увеличивать использование этого сырья. [pic] [pic] Запишем новую симплекс-таблицу с учётом новой переменной: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |3,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6’ |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | | |. | | | | | | | | | | | | | |4,5|X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |0,6’|2 |0 |0 |-0,2|0 |0,4 | |0 |X8 |0,12|0 |0 |0,2 |0,3 |1 |0,6 |0 |1 |-0,4|0 |0,12| | | | | | | | | | | | |6 | | | |5,8|X3 |-0,4|0 |1 |1 |1 |-2 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0,6 | |0 |X7 |0,12|0 |0 |0,2 |0,3 |-0,1|-0,4|1 |0 |0,54|-1 |0,32| | |F |-0,0|0 |0 |-0,2|-1,7|1 |-2,6|0 |0 |-6,0|0 |5,28| | | |2 | | | | | | | | |6 | | | Оптимальная симплекс-таблица: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |3,5 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св |Б.П|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6’ |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |В | | |. | | | | | | | | | | | | | |3,5|X6’|2,33|1,66|0 |0 |0 |1 |3,33|0 |0 |-0,3|0 |0,66| | | |3 |6 | | | | |3 | | |33 | |6 | |0 |X8 |-0,0|-0,1|0 |0,2 |0,3 |0 |0,33|0 |1 |-0,4|0 |0,06| | | |66 |33 | | | | |3 | | |33 | |6 | |5,8|X3 |-1,3|-0,6|1 |1 |1 |0 |-3,3|0 |0 |1,33|0 |0,33| | | |3 |66 | | | | |3 | | |3 | |3 | |0 |X7 |0,63|0,36|0 |0,2 |0,3 |0 |0,33|1 |0 |0,46|-1 |0,46| | | |3 |6 | | | | |3 | | |6 | |6 | | |F |-3,5|-2,5|0 |-0,2|-1,7|0 |-7,6|0 |0 |-6,5|0 |4,26| | | |6 |3 | | | | |6 | | |66 | |6 | Оптимальное решение будет [pic], [pic]. Это означает, что для производства нового сплава будет использоваться 33,3% третьего сырья и 66,6% нового шестого сырья. Минимальная стоимость сплава будет 4,266 у.е. Видим, что использование нового вида сырья действительно выгодно, т.к. издержки на производство сплава снизились с 5,28 у.е. за единицу до 4,266 у.е. 5. Введение нового ограничения Пусть для производства сплава нужно использовать ещё один компонент – медь, содержащуюся в сырье в количествах 40%, 10%, 20%, 20% и 30% соответственно. Содержание её в новом сплаве не должно быть меньше 20%. Система ограничений будет иметь вид: [pic] Оптимальное решение первоначальной задачи: [pic]. Проверим, удовлетворяет ли оно новому ограничению: [pic]. Ограничение не выполняется, поэтому для решения задачи приведём новое ограничение к канонической форме: [pic] Исключив из него все базисные переменные, добавим его в оптимальную симплекс-таблицу. [pic] [pic] [pic] После несложных вычислений получим: [pic]. Новая симплекс таблица будет выглядеть следующим образом: | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св|Б.П|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |X11 |В | | |. | | | | | | | | | | | | | |4,|X2 |1,4 |1 |0 |0 |0 |2 |0 |0 |-0,2|0 |0 |0,4 | |5 | | | | | | | | | | | | | | |0 |X8 |0,12|0 |0 |0,2 |0,3 |0,6 |0 |1 |-0,4|0 |0 |0,12 | | | | | | | | | | | |6 | | | | |5,|X3 |-0,4|0 |1 |1 |1 |-2 |0 |0 |1,2 |0 |0 |0,6 | |8 | | | | | | | | | | | | | | |0 |X7 |0,12|0 |0 |0,2 |0,3 |-0,4|1 |0 |0,54|-1 |0 |0,32 | |0 |X11|0,34|0 |0 |0 |0,1 |0,2 |0 |0 |-0,2|0 |1 |0,04 | | | | | | | | | | | |2 | | | | | |F |-0,0|0 |0 |-0,2|-1,7|-2,6|0 |0 |-6,0|0 |0 |5,28 | | | |2 | | | | | | | |6 | | | | Оптимальное решение получим с помощью двойственного симплекс-метода. | |4 |4,5 |5,8 |6 |7,5 |0 |0 |0 |0 |0 |0 | | |Св|Б.П|X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |X7 |X8 |X9 |X10 |X11 |В | | |. | | | | | | | | | | | | | |4,|X2 |0 |1 |0 |0 |-0,4|1,17|0 |0 |4,11|0,70|0 |0,235| |5 | | | | | |11 |6 | | |7 |5 | | | |0 |X8 |0 |0 |0 |0,2 |0,26|0,52|0 |1 |0,35|-0,3|0 |0,106| | | | | | | |4 |9 | | |3 |82 | | | |5,|X3 |0 |0 |1 |1 |1,11|-1,7|0 |0 |-1,1|0,94|0 |0,647| |8 | | | | | |7 |6 | | |7 |1 | | | |0 |X7 |0 |0 |0 |0,2 |0,26|-0,4|1 |0 |0,35|0,61|-1 |0,305| | | | | | | |4 |7 | | |3 |7 | | | |4 |X1 |1 |0 |0 |0 |0,29|0,58|0 |0 |-2,9|-0,6|0 |0,117| | | | | | | |4 |8 | | |4 |47 | | | | |F |0 |0 |0 |-0,2|-1,6|-2,5|0 |0 |-0,0|-6,0|0 |5,282| | | | | | | |9 |8 | | |58 |47 | | | Оптимальное решение: [pic]. Это значит, что для производства сплава с учётом примеси меди необходимо взять 11,7% первого сырья, 23,5% второго сырья и 64,7% третьего сырья. Минимальная стоимость единицы такого сплава будет 5,282 у.е. ----------------------- [pic] (4) (1) (2) (3) [pic] [pic]