Материалы сайта
Это интересно
Шпора по математическому анализу
|Лекция №5. | | | | | |f(x) x([a,b] | | | | | |Говорят что f | | | | | |удовл. условию | | | | | |Липшица если имеет| | | | | |место след. оценка| | | | | ||f(x)-f(y)|<= | | | | | |<=L|x-y| (1) или | | | | | ||(f|<=L|(x| | | | | | |постоянная L наз. | | | | | |постоян. Липшица. | | | | | |Условие Липшица не| | | | | |означает что ф-я | | | | | |диф-ма (например | | | | | |y=|x|). | | | | | |Пример: ( кусочно | | | | | |непр.ф-я , график | | | | | |которой явл. | | | | | |ломанной кривой | | | | | |удолетворяет | | | | | |условию Липшица. | | | | | |1.Если ф-я диф-ма | | | | | |на отрезке и ее | | | | | |производная | | | | | |ограничена то она | | | | | |удолетв. усл-ю | | | | | |Липшица (причем в | | | | | |кач-ве L можно | | | | | |взять ее точн. | | | | | |верх. грань | | | | | |значения модуля ее| | | | | |производной : | | | | | |L=sup|f(x)| ). | | | | | |2.Обратно: если | | | | | |ф-я диф-ма и | | | | | |выполнено усл-е | | | | | |Липшица, то модуль| | | | | |производной | | | | | |ограничен. | | | | | |Док-во: | | | | | |1.f(x)-f(y)=f’(x+(| | | | | |(y-x))(x-y) | | | | | |0<(<1; | | | | | |f(x)-f(y)<=|f’(x+(| | | | | |(y-x))||x-y| | | | | | |a<=x<=b | | | | | |2.|f(x+(x)-f(x)|/|| | | | | |(x|<=L (x(0 | | | | | |sup|f’(x)|<=L | | | | | |ч.т.д. | | | | | |Теорема | | | | | |Коши-Липшица. | | | | | |y’=f(x,y) y(x0)=y0| | | | | |D={|x-x0|<=a, | | | | | ||y-y0|<=b} | | | | | |!!!!!!рис.!!!!!! | | | | | |f непрерывна по | | | | | |переменной x и | | | | | |удолетворяет | | | | | |условию Липшица. | | | | |