Материалы сайта
Это интересно
Шпора по математическому анализу
|Лекция №14. | |лекция №1. | |Лекция №2. | |Линейные | |*соотношение | |Уравнения с | |колебания. | |связывающее | |разделяющимися | |1)Свободные | |независимую пер. | |пер-ми. | |колебания линейной| |x, ф-ю y(x) и | |*пусть ур-е имеет | |системы без | |некот. кол-во ее | |вид y’=f(x) (1) | |трения. | |производных назыв.| |тогда dy/dx=f(x) и| |2)Свободные | |диф. ур. | |предполагая что | |колебания линейной| |*порядком д.у. | |f(x) определена и | |системы с трением.| |наз. порядок | |непр. на (a,b) | | | |старших произв. | |можно записать | |3)Вынужленные | |входящих в это | |dy=f(x)dx (2), | |колебания линейной| |д.у. | |проинтегрируем обе| |системы без | |предположем что в | |части (dy=(f(x)dx| |трения. | |пр-ве пер-х x,y,z | |y=(f(()d(+c (3). | |4)Вынужленные | |задана ф-я F на | |Соотнош. (3) | |колебания линейной| |некотор.области G.| |задает общ. реш-е | |системы с трением.| | | |ур-я (1) и зависит| | | |*соотношение | |от одной | |az’’+bz’+cz=h(t) | |связывающее | |постоянеой. Иначе | |a,b,c(R | |независимую пер. | |общ. реш-е можно | |h(t)-комплексная | |x, ф-ю y(x) и ее | |запис. в виде | |ф-я: f(t)+ig(t) | |первую производную| | | |az’’+bz’+cz=f(t)+i| |y’(x) назыв. диф. | |y=(x0,x)(f(()d(+c | |g(t) | |ур. 1-го порядка. | |(4) в этом случае | |z(t)=x(t)+iy(t) | |*искомое д.у. явл.| |y(x0)=c; в этом | |a(x’’+iy’’)+b(x’+i| |ф-я y(x). Если | |случае | |y’)+c(x+iy)=f+ig | |ищем ф-ю одной | |y(x)=y0+(x0,x)(f((| |ax’’+bx’+cx+i(ay’’| |пер., то ур-е наз.| |)d( y(x)=y0 (5) | |+by’+cy)=f+ig | |обыкновенным. Если| |*пусть д.у. имеет | |ax’’+bx’+cx=f(t) | |искомой явл. ф-я | |вид y’=g(y) (6); | |ay’’+by’+cy=g(t) | |нескол. пер-х, то | |ф-я g(y) опр. и | |если z(t) компл. | |д.у. наз. ур-м в | |непр. в [c,d] | |реш. то его вещ. и| |частных произв-х | |предположим что | |мним. части явл. | |(ур-е Лапласа). | |g(y) не обращается| |реш-м вещ. ур-й | |*ф-я y=f(x) опред.| |в 0; dy/dx=g(y) | |правой части | |на некот. | |или dx/dy=1/g(y) | |котор.равны | |интервале наз. | |(7). В виде (7) | |соответ. вещ. и | |решением ур-я если| |ур-е явл. точно | |мним. | |выполняются след. | |таким же ур-е (1) | |az’’+bz’+cz=pe^(iж| |условия: | |т.е. можно | |t) (ж-каппа) | |1.f(x) диф-ма в ( | |интегрировать: | |L(iж)<>0 | |точке обл. опр. | |dx=dy/g(y) | |z=qe^(iжt)-реш-е | |(f’(x) не равно | |(dx=(dy/g(y) | |ур-я | |оо. | |x=(y0,y)(dy/g(y)+c| |z’=qiжe^(iжt); | |2.(x: x,f(x),f’(x)| |(8) Представление| |z’’=q(iж)^2e^(iжt)| |принадлежат | |(7) позволяет | |(-aж^2+biж+c)qe^(i| |области G, на | |сделать x ф-ей y, | |жt)=pe^(iжt) | |кот.опр-на F(G). | |y-независ. пер.; | |q=p/(-aж^2+biж+c) | |3.(x: ф-я f(x) | |(8) задает общий | |z(t)=e^(iжt)p/(-aж| |обращ. ур-е в | |интеграл для ур-я | |^2 +biж+c) p>0 p(R| |тождество | |(6); | |Выделим вещ и мним| |(((x,f(x),f’(x))=0| |x=x0+(y0,y)(dy/g(y| |части: | |. | |) y(x0)=y (9); (9)| |z(t)=(cosжt+isinжt| |*д.у. 1-го пор. | |задает частичный | |)p(1/(-aж^2+biж+c)| |разрешенное | |интегралдля ур-я | |)=p(cosжt+isinжt)(| |относит.произв. | |(6). Для того | |-aж^2-biж+c)/((-aж| |имеет след. вид | |чтобы точно | |^2+biж+c)(-aж^2-bi| |y’=f(x,y) (*), где| |проанализировать | |ж+c)=p(cosжt+isinж| |y’=dy/dx | |ур-е (6) | |t)(-aж^2-biж+c)/((| |dy/dx=f(x,y) | |выписывают ур-е | |-aж^2+c)^2+(biж)^2| |y’=dy/dt | |g(y)=0 (10) теперь| |)=(коля не | |*реш-е ур-я 1-го | |можно найти его | |дописал). | |пор.всегда зависит| |корни: если | |1)Свободные | |от 1-ой произв. | |(y0:g(y0)=0 то | |колебания линейной| |постоянной. Ур-е | |ур-е (6) имеет | |системы без трения| |n-го порядка зав. | |реш-е y=y0. для | |описываются в | |от n произв. | |того чтобы | |след. виде: | |постоянных. | |изобразить все | |dІx/dtІ+aІx=0 a<>0| |*для того чтобы | |интегр. кривые (6)| |(1). | |найти реш-е | |сначала изображают| |kІ+aІ=0-характерис| |ур-я(*) проход. | |интегр. кривую | |тическое ур-е (2) | |через заранее зад.| |проход. через | |k1,2=+-ia; e^(iat)| |точку ставят | |т.(x0,y0), | |e^(-iat) | |начальное усл-е: | |остальные получ. | |x=c1cosat+c2sinat-| |y(x0)=y0 (**). | |сдвигомоси ox, | |общее ур-е (3) или| |*найти реш-е ур-я | |реш-е не выходит | |запис в след виде | |(*) удовлет. зад. | |из [c,d]. | |x=Asin(at+() A>0 | |нач. усл-ю (**) | |* пусть ур-е имеет| |(4) | |означает решить | |вид y’=f(x)g(y) | |A(sinatcos(+cosats| |нач. задачу Коши. | |(11) f(x) | |in()(тожд.=) | |Известно что нек. | |определена и непр.| |с1cosat+c2sinat | |ф-я y=y(x,c) | |на (a,b) g(y) опр.| |Acos(=c2 Asin(=c1 | |c=(const (***) | |и непр. в [c,d] | |AІcosІ(+AІsinІ(=c1| |такая что | |тогдаправая часть | |І+c2І= значит | |подходящим выбором| |опр. в области G, | |A=sqrt(c1І+c2І) | |с из нее можно | |кот. опред. по x | |sin(=c1/A | |получитьлюбое | |интервал[a,b], по | |cos(=c2/A | |реш-е ур-я (*), | |y-[c,d] g(y) y | |tg(=c1/c2 | |тогда ф-я (***) | |неравно 0. | |A-амплитуда | |наз. общим реш-м | |Для реш-я (11) | |колебаний | |ур-я(*), каждое | |нужно разделить | |a-частота (-нач. | |конкретное реш-е | |пер-е: | |фаза. aT=2( | |ур-я (*) наз. | |dy/dx=f(x)g(y) | |T=2(/a-период | |частным реш-м ур-я| |dy/g(y)=f(x)dx | |колебаний | |(*). | |(dy/g(y)=(f(x)dx+c| |a/2(-число кол. в | |если есть | |(12). (12) задает | |единицу времени. | |представление | |общий интеграл для| |Ур-е (1) часто наз| |(***), то реш-е | |ур-я (11). Если | |гармонич. | |ур-я (*) задано | |удается отсюда | |осициллятора | |явно; если | |явно выразить y от| |(’’+(g/l)sin(=0, | |f(x,y)=0 неявно и | |x, то получаем | |считают что колеб | |ф-я f(x,y)=0 | |общ. реш-е. | |малее, sin(=( | |наз. частным | |Предположем что | |(’’+(g/l)(=0 (ур-е| |интегралом. | |y=((x), ее можно | |(1)) aІ=g/l | |*если удалось | |представить в | |T=2(/a=2(sqrt(l/g)| |найти ф-ю | |(11): | | | |f(x,y,c)=(пуст. | |y’=f(x)g(((x)) | |2)Свободные | |мн-во), кот. | |g<>0 | |колебания линейной| |охватывает все | |y’/g(((x))=f(x) | |системы с трением:| |частные интегралы,| |(13) Домножим обе | |dІx/dtІ+2ndx/dt+aІ| |то она наз. общим | |части (13) на dx и| |x=0 (5) | |интегралом. | |проинтегр. | |0=a-сопр. велико;| |общий интеграл | |)dx dy=(’(x)dx | |kІ+2nk+aІ=0 (6) | |эквивалентны | |((’(x)dx/g(((x))=(| |k1,2=-n+-isqrt(aІ-| |f(x,y,y’)=0 и | |dy/g(y) Замена | |nІ) sqrt(aІ-nІ)=b| |Ф(x,y,c)=0.пусть | |справедлива если | |Выпиш. компл реш-я| |задано семейство | |((x) не обращается| |(1): e^(-nt+ibt) | |линий ур-м | |в 0. | |e^(-nt-ibt) Выпиш | |Ф(x,y,c)=0 иначе | | | |вещ реш-я: | |говоря задан общий| |Однородные диф. | |x=e^(-nt)(c1cosbt+| |интеграл. Для того| |ур-я. | |isinbt) (c1,c2(R | |чтобы восстан. | |Ур-е 1-го порядка | |(7) | |д.у. необходимо | |y’= f(x,y) (1) | |x=Ae^(-nt)sin(bt+(| |ф-ю Ф(x,y,c)=0 | |однородно если | |) (8) | |продиф. по x | |f(ax,ay)=af(x,y) | |Ae^(-nt)-перем. | |Ф’x(x,y,c)+ | |(2). | |амплитуда | |Ф’y(x,y,c)*y’=0 из| |Ур-е n-го порядка | |b-частота если n | |этого соотношения | |однородно если | |мало то b примерно| |нужно выразить | |f(ax,ay)=a^nf(x,y)| |=a. Логорифмич. | |произв. пост. с, | |. | |декремент | |она будет зависеть| |Если ф-я f(x,y) | |затухания T=2(/b | |от x,y и y’ и | |удолетворяет | |T/2=(/sqrt(aІ-nІ);| |затем вернуться к | |условию (2) то | |e^(-n(t0+T/2))=e^(| |F(x,y,y’)=0. | |можно записать | |-nt0)e^(-nT/2); | |*д.у. y’=f(x,y) | |x<>0 f(x,y)= | |-e^(-nT/2=(n/sqrt(| |определена на | |f(x*1,x*y/x)= | |aІ-nІ)-л.д.з. | |пл-ти (x,y) – | |f(1,y/x) = =g(y/x)| |3)Вынужленные | |фазовая пл-ть. | |f(x,y)=g(y/x) | |колебания линейной| |!!!!!!рис.!!!!!! | |f(1,u)=g(u) (3). В| |системы без | |1.Зафикс. в | |силу соотношения | |трения: | |области | |(3) ур-е (2) имеет| |dІ/dtІ+aІx=psin(t | |определение ф-и f | |вид y’=g(y/x) (4).| |(9) a,p,(>0 | |нек. точку с корд.| |Это ур-у не явл. | |a-частота собств | |(x,y). | |ур-м с разд. пер. | |колеб; | |2.Подставим зн-е | |но может быть | |p-амплитуда; | |ф-и f в зад-й | |сведено к нему | |(-частота ;e^(i(t)| |точке | |заменой u=y/x (5):| |надо следить что | |f(x,y)=y’=tga. | |y=ux y’=u’x+u | |i(=+-ia; | |3.y’=tga через | |подставим в (4) | |*)(<>a-нерезонансн| |(x,y) проводят | |u’x+u=g(u) | |ый случай. | |отрезок единичной | |xdu/dx=g(u)-u | |x=(cos(t+(sin(t | |ф-и кот образует | |du/(g(u)-u)=dx/x | |(=0(=p/(aІ-(І) | |угол a с положит. | |(6) проинтегр.(6) | |x=Asin(at+()+psin(| |напр. оси x. | |g(u)-u<>0 | |t/(aІ-(І) (10) – | |4.Теоретически эта| |(du/(g(u)-u)=ln|x|| |общее реш-е (9); | |процедура | |+c (7) Соотношение| |если A и ( | |проводится в | |(7) задает общий | |соизмеримы то это | |каждой точке | |интеграл для ур-я | |период ф-я; если A| |области | |(4) после этого | |и ( несоизм (их | |определения ф-и f | |возвр. к x, y. | |отн иррац) то это | |и получают | |Выпис. ур-е | |непериод ф-я; если| |совокупность | |g(u)-u=0 (8) и | |0<(a | |совокупность и | |ур-я (1). | |то | |задает поле | | | |psin((t+()-амплиту| |напрвлений. | |Ур-я в диф-лах. | |да, говорят в этом| |*геометр. образ | |A(x,y)dx+B(x,y)dy=| |случае | |реш-й y=w(x) или | |0 (1)-общий вид | |чтоколебания | |его график наз. | |ур-я в диф-лах. | |происходят в | |интегр. кривой, а | |Это ур-е явл. ур-м| |противофазе. | |всевозм. | |в полных диф-лах | |Частота внеш сил | |инт.кривые задают | |если (такая неотр.| |не совпадает с | |фазовый портрет. | |диф. ф-я u(x,y) | |собств частотой; | |известен график | |что полный диф-л | |**)если | |реш-я д.у. Зафикс.| |du(x,y)=((x,y)dx+B| |(=a-резонансный | |произв. точку и | |(x,y)dy du(x,y)=0 | |случай. | |проведем через нее| |(2) в этом случае | |x=((cos(t+(sin(t)t| |касательную. | |общий интеграл для| |(!) если част. | |Касат. обраует | |ур-я (1) имеет вид| |реш. (9) исп в | |угол b с x; (tgb а| |u(x,y)=c (3). | |виде (!) то | |значит ( зн-е | |Пусть задана ф-я | |(=-p/2a и (=0 а | |производной. | |u(x,y): | |значит общее реш | |y’=f(x,y) Т.к. | |(u(x,y)/(y<>0 | |(9) имеет вид | |w(x) есть реш-е | |тогдаур-е (3) (по | |x=Asin(at+()-ptcos| |нашего д.у. то | |теореме о неявн. | |(t/2a (11) | |w’(x)=tgb=f(x,w(x)| |ф-и) разрешено (c.| |ptcos(t/2a | |)=f(x,y)=tga. Угол| |Обозначим реш. | |–вековой член | |a задает наклон | |этого ур-я через | |из-за него | |поля к точке | |y(x) тогда | |происходит явление| |(x,y). | |u(x,y(x))=c (4). | |резонанса. (коля| |Особнность: в | |Продиф-м по x: | |написал что нету | |кажд. т. интегр. | |(u(x,y)/(x+y’(x)(u| |ф-лы (12)). | |кривой касат. и | |(x,y)/(y=0 (5) | |4)Вынужленные | |наклон поля | |умножим на dx | |колебания линейной| |совпадают между | |y’(x)dx=dy т.к. | |системы без | |собой. | |(u(x,y)/(x=A(x,y);| |трения: | |*Метод Изоклин: | |((x,y)/(y=B(x,y) | |dІx/dtІ+2ndx/dt+aІ| |1.правая часть | |(6) то y(x) явл. | |x=psin(t (13) | |д.у. | |реш-м ур-я (1). | |0 (; | | | |((y)=(y0,y)(N(x0,y| |q=(/2 if a=(; | | | |)dy+c | |-(<(<0 if a<(. | | | |u(x,y)=(x0,x)(Mdx+| | | | | |(y0,y)(N(x0,y)dy+c| | | | | |ч.т.д. | | | | | |Часто ур-е в | | | | | |диф-лах можно | | | | | |привести к ур-ю в | | | | | |полных диф-лах | | | | | |путем умножения на| | | | | |некот. ф-ю m(x,y) | | | | | |m(x,y)A(x,y)dx+m(x| | | | | |,y)B(x,y)dy=0 (8) | | | | | |m(x,y)-интегрирующ| | | | | |ий множитель. | | | | | | |