Материалы сайта
Это интересно
Сборник Лекций по матану
§12. Определенный интеграл Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, (, xn-1, удовлетворяющие условию: a< x1,< x2<(< xn-1,b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства [pic]. §13. Определенный интеграл как функция верхнего предела Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число [pic], [pic] определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента (x: (I(x) = I(x + (x) – I(x) = [pic] [pic]. Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения (I(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах (x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)(x. Отсюда получаем соотношение [pic]. В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина (x. Из сказанного следует формула для производной функции I(x): [pic]. Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция [pic] является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде [pic]. (1) Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2) Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]: [pic], которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x). Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом [pic]. Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Примеры. 1. [pic]. 2. [pic]. Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: [pic]. В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона- Лейбница: I = ex(x – 1)[pic] = 1. При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле: [pic]. Здесь ( и ( определяются, соответственно, из уравнений ((() = a; ((() = b, а функции f, (, (( должны быть непрерывны на соответствующих промежутках. Пример:[pic]. Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим: [pic]. При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования. §14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n((; ((0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;(), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом [pic] называется [pic], если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится. Аналогично [pic] и [pic]. Примеры: 1. [pic]. Очевидно: [pic], откуда следует [pic]. 2. [pic]; этот предел не существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I. 3. [pic]; здесь предел также не существует, и интеграл расходится. Упражнения 1. Найти производные от следующих функций: |1) |[pic]; |2) |[pic]; | |3) |[pic]; |3) |[pic]; | |5) |[pic]; |6) |[pic]; | |7) |[pic]; |8) |[pic]; | |9) |[pic]; |10) |[pic] ; | |11) |[pic]где x = 1; |12) |[pic]; | |13) |[pic] где t = ( / 6; |14) |[pic] | |15) |[pic]; |16) |[pic]. |