Материалы сайта
Это интересно
Несобственный интеграл
Несобственный интеграл с несколькими особенностями . Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c((a,b). При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с.Тогда Y . f(x) 0 a k c l b X Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2) Вообще,если функция f :(R имеет на промежутке конечное число особых точек и Т: a=k1, что на каждом из ,i=1(n,особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) : cходится, то cходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину ,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму (2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения. Y f(x) 0 a=k1 k2………ki…….kn-1 kn=b(+( в данном случае). Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями . Пример1. Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x((( имеем интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка). Разобьём интервал интегрирования (0;+(( так, чтобы на каждом промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной особенности .Например, (0; 1) и (1;+(). По определению исходный интеграл Сходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла Первый из этих интегралов расходится при p ( 1 , второй - при p ( 1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится при любом значении p . Пример 2. Исследуем сходимость интеграла Решение. Подынтегральная функция имеет на на промежутке интегрирования ( 0;+( ) две особые точки x= 0 и (+(), следовательно, необходимо смотреть сходимость каждого из интегралов Для некоторого a ( (0; +( ).Начнём с простейших оценок .Так как Подынтегральная функция неотрицательна , и , в силу признака сравнения Cходится абсолютно. При x(( имеем Значит,по признаку сравнения интеграл и на промежутке (a;+() сходится абсолютно,так как сходится интеграл от модуля функции: Вывод : исходный интеграл сходится,причём абсолютно. Пример 3 На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка. Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов Рассмотрим сначала При b(1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела ( данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся. Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2] выглядит примерно так: Y 1 0 1 2 X Пример 4. . Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале [3;5) функция сравнения имеет вид Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных замен (следствие из формулы Тейлора) При x ( 0 Ln (1+x) ~ x Sin x ~ x Tg x ~ x Arcsin x,arctg x ~ x Необходимо помнить также,что при x(( Cosx, sinx есть ограниченные функции, Arctg x ( (/2, (-(/2 при x(-() Arcctg x ( 0 (( при x(-() При x ( 0 Arccos x, arcctg x ( (/2 Напоминание: По правилу Лопиталя Пример 5. Исходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося интегралов,тоже расходится. Следующие примеры иллюстрируют исследование сходимости с помощью непосредственного вычисления значения несобственного интеграла. Пример 6. Интеграл сходится - его значение стремится к -4. Предел С помощью примера 6 решим пример 7: Пример 7. В результате получили сумму двух сходящихся интегралов - следовательно , и исходный интеграл тоже сходится. Пример 8. Интеграл расходится. Пример 9. Данный интеграл имеет две особенности x(0 и x(( . Обратите внимание на различные приёмы при исследовании функций при стремлении переменной x к нулю и к бесконечности. Значит , сходится исходный интеграл , как сумма двух сходящихся . ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]