Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений
4.4. Показательные и логарифмические уравнения.
Показательное уравнение.
Простейшее показательное
уравнение имеет вид , а > 0, a № 1, b > 0 и решается логарифмированием: .Показательное
уравнение вида,
при а
> 0, a № 1 равносильно уравнению f(x) = g(x).Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду
, а затем к f(x) = g(x); 2) метод введения новой переменной.П р и м е р: Решить уравнение
.Р е ш е н и е.
. Применим метод введения новой переменной: . Получим квадратное уравнение с корнями . Теперь задача свелась к совокупности: Û .О т в е т:
x = 2.Логарифмические уравнения.
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
, при а > 0, a № 1.
Чтобы решить уравнение
, нужно:- решить уравнение
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду
, а затем к f(x) = g(x); 2) метод введения новой переменной.П р и м е р: Решить уравнение
.Р е ш е н и е. Воспользуемся свойством суммы логарифмов:
откуда
(x+4)(2x+3)=1-2x.Из последнего уравнения находим
.Осталось сделать проверку.
.
Подставив найденные значение в эти неравенства получаем, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 нет.
О т в е т: х
= -1.Пример решения показательно-логарифмических уравнений.
П р и м е р: Решить уравнение
.Р е ш е н и е. Воспользуемся определением логарифма:
.
Полагая
, получаем уравнение: , корни которого .Теперь задача сводится к решению совокупности: , . Так как , то первое уравнение не имеет решений. Прологарифмировав обе части второго уравнения по основанию 5, получаем:, т. е. ,
откуда находим
- корни заданного уравнения.