Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений
4.3. Логарифмы. Свойства логарифмов
Понятие логарифма.
Число
(логарифм числа b по основанию числа а), если и 0 < a ¹ 1, b > 0.Существование этого числа принимается без доказательства, единственность следует из строгой монотонности функции
при а > 0, a ¹ 1, доказанной ниже.В силу того, что, в частности, при любом действительном а таком, что 0
< a ¹ 1 , из определения логарифма вытекает" а Î R : 0 < a ¹ 1 , .
Свойства логарифмов.
(при 0 < a ¹ 1, b > 0);
2. , 0 < a ¹ 1, b > 0, с > 0;
3. , 0 < a ¹ 1, b > 0, с > 0;
4. , 0 < a ¹ 1, b > 0, a Î R;
(2. - 4. - логарифмы произведения, частного, степени)
5. формула перехода к другому основанию:
, в частности при c = b
0 < a ¹ 1, 0 < с ¹ 1, b > 0.
Доказательства:
1. Þ следует их определения логарифма;
Свойства 2. - 4. Доказываются на основе основного логарифмического тождества 1. , утверждения о том, что при любом действительном а > 0, a ¹ 1
Û х = y,
вытекающем из свойства монотонности показательной функции, доказанной ниже, и свойств степеней
справедливых для любых a и b
Î R(в школьном курсе не доказывается), следующем образом:
Свойство 5. Вытекает из свойств 1. и
4. следующим образом
Пусть
b < 0, с < 0, тогда2'. ;
3'. ;
если в 4. a =2k - четное, то
4'. , 0 < a ¹ 1, b > 0.
Почему в определении
0 < a ¹ 1, b > 0 ?(так как " a
Î R определено лишь для а > 0 и > 0, не определен при b ¹ 1, - любое действительное число).