Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Графики функций
5.3. Свойства показательной функции и ее график
Пусть а > 1, a - произвольные действительные числа, r1, r2 - произвольные рациональные числа такие, что r1 Ј a Ј r2, тогда аa = b, если a r1 Ј b Ј ar2 для любых указанных выше r1, r2 О Q.
Если 0 < а < 1, то а
a = b, если ar2 Ј b Ј a r1 для любых указанных выше r1, r2 О Q.Если а = 1, то а
a = 1 для любого a О R.Если а = 0, то а
a = 0 для любого a О R, a > 0.Функция вида
y = ax называется показательной функцией, а і 0 - постоянное число, х - переменное (аргумент). В школьном курсе без доказательства принимается существование и единственность числа b = аa ," а и a О R, а > 0.- Отсюда область определения функции ax при а > 0 - любое х О R, а при а = 0 - любое х О R, где х > 0. Случаи а = 0 и а = 1 достаточно тривиальны и подробно рассматриваться не будут.
- Для любого b > 0 существует единственное a : аa = b, где 0 < а № 1. Поэтому из определения показательной функции вытекает, что область изменения функции y = ax - (0 , +Ґ ).
- max аa и min аa нет.
- y = ax не является четной в силу строгой монотонности на (-Ґ , +Ґ ) (см. п. VII), из которой вытекает: "х № 0 "x О R, у(-х) = у(х);
- y = ax не является периодической по причине своей строгой монотонности.
- Так как при а > 1 и r О Q , то, следовательно, b = аa і аr > 0, где a і r, r О Q, поэтому нулей нет и ax > 0 на (-Ґ , +Ґ );
Докажем, что .
Предположим, что
$ х0 О R : и"
x О R : ax і s > 0,, но так как Е[ax ] - (0 , +Ґ ), то в частности
$
х'0 О R : ,пришли к противоречию, аналогично доказывается первое утверждение:
.
она же не является нечетной, так как принимает только положительные значения, откуда
" х О R равенство у(-х) = -у(х) невозможно.Аналогичные результат и обоснования для 0 <
a < 1.VII. Возрастание функции
y = ax при а > 1 и ее убывание при 0 < a < 1 сначала докажем на множестве рациональных чисел, то есть " r1, r2 О Q, r1 < r2, " а > 1 (0 < a < 1) Ю ar2 > a r1 (ar2 < a r1 ).Фиксируем произвольные рациональные числа
r1 < r2. В силу свойств степеней с рациональными показателями ar2 - a r1 = a r1 (ar2- r1 -1). Так как a r1 >0 и r2- r1 > 0, то достаточно доказать, что " r > 0, r О Q, " а > 1 (0 < a < 1) ar > 1 (0 < ar < 1):.
В силу свойств числовых неравенств и определения корня
n - ой степени:а
> 1 (0 < a < 1) Ю am > 1 (0 < am < 1) Ю Ю .Тем самым возрастание (убывание) функции
y = ax при а > 1 (0 < a < 1) на множестве рациональных чисел доказано.Для доказательства соответствующих утверждений на множестве действительных чисел воспользуемся вспомогательным утверждением.
Утверждение.
"
а,b О R и a < b $ х О Q такое, что a < x < b.Фиксируем произвольные х
1, х2 О R, x1 < x2, тогда в силу утверждения существует рациональное число x такое что, x1 < x < x2, а так как при этом х О R, то существует также рациональное число х' такое, что x < x' < x2.Таким образом
" х1, х2 О R: x1 < x2, $ х, х' О Q такое, что x1 < x < x' < x2.По определению
ax и доказанному возрастанию (убыванию) показательной функции на множестве рациональных чисел при а > 1 (0 < a < 1) имеем:Ю
Ю
что и означает возрастание (убывание) функции
y = ax на всей области определения, которая есть множество всех действительных чисел.VIII. Графики.
При х
® +Ґ , ах ® +Ґ (ах ® 0 + 0), если а > 1 (0 < a < 1),при х
® -Ґ , ах ® 0 + 0 (ах ® +Ґ ), если а > 1 (0 < a < 1).