Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Числа
2.5. Арифметические корни n - ой степени и степени с рацоинальными показателями
Свойства арифметических корней
n - ой степени.Пусть числа
a, b О R. Число b называется корнем n - ой степени (n О N) из числа а (алгебраическим корнем), если . Если а і 0, b і 0, то число называется арифметическим корнем n - ой степени из числа а. Арифметический корень обозначается так:.
Это обозначение применяется и для случая нечетного
n и отрицательного а (а<0), при этом также b<0.При
n = 1 b = a, так как , при n = 2 .Без доказательства принимается существование арифметического корня
n - ой степени; его единственность вытекает из свойства 10 числовых неравенств.Свойства корней
n - ой степени:, " n, m, k, r О N, m = nk + r, 0 < r Ј n-1, " a і 0, a О R
6. , " n, m О N, " a і 0, a О R
7. , " n, m, p, q, k О N, m = kq, n = kp, " a і 0, a О R
8. , " n, m, p, q О N, " a і 0, a О R
, " n, m, p, q О N, " a і 0, a О R.
Доказательства.
Их доказательства основаны на определении корня, единственности корня (в свойстве 1. применяется еще единственность алгебраического корня нечетной степени из отрицательного числа) и свойствах степеней с натуральными показателями.
1. и Ю , n = 2k-1, если n = 2k, то так как " nОN , что выводится точно так же, как и в случае n = 2k-1 (при этом используется то, что );
2. , Ю 2.;
3. , Ю 3.;
4. , Ю 4.;
5. , Ю 5.;
Ю 5.;
6. Ю 6.;
7. ;
8. , аналогично рассматривается случай частного с использованием свойства 4. степеней.
Свойства корней полностью доказаны.
Обратить внимание, что в свойствах 2 и 3 при n = 2k, kОN для любых a,b О R таких, что ab і 0 (в случае 3 b № 0) имеют место равенства, которые предлагается самостоятельно обосновать.
2'. и 3'. .
Свойства степеней с рациональными показателями.
Пусть
p О Z, q О N, a > 0, a О R, , в частности при p = 1 , если p О N, то определено и для а = 0.Если
q < 0, то , однако все свойства степеней с рациональными показателями будут формулироваться и доказываться для случая, когда у показателей q,s >0.Свойства степеней:
Свойства 1 - 5 справедливы для всех действительных
a и b, при которых определены левые и правые части выписанных равенств, в частности, для любых a > 0, b > 0, a,b О R, свойство 6 - " указанных a,b ОR.Доказательства.
1. Пусть , где
m О Z, n О N2.
3.Свойства 3 и 4 вытекают из свойств корней 8 и определения степени: пусть
,4.
5. ,
аналогично доказывается, что
6., m,n О N , в силу только что доказанного свойства 5 и свойства 10 числовых неравенств ,
, по доказанному и в силу свойства 9 числовых неравенств
Свойства степеней доказаны.