Материалы сайта
Это интересно
Расчетно-графическая работа
§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции. Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения. В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа: Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень. Уточнение корня с заданной точностью. Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами. Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0 Выходом из итерационного процесса являются условия: |f(xn)|?? |xn-xn-1|?? рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных. 2 п. Метод половинного деления. Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что f(a)*f(b)<0 Суть метода Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x0=(a+b)/2, получается два отрезка [a,x0] и [x0,b], далее выполняется проверка знака на концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x0)?0 или f(x0)*f(b)?0 снова проводится деление пополам координатой х, снова выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор пока |xn-xn-1|?? Приведем ГСА для данного метода 3п. Метод итерации. Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?. Суть метода Дано f(x)=0 (1) Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=?(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим: x1= ?(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим: x2= ?(x1) (4) x3= ?(x2) (5) Проделаем данный процесс n раз получим xn=?(xn-1) Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень. Выражение (5) запишем как x*= ?(x*) (6) Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся. Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие: Приведем ГСА для метода итерации: 4 п. Метод касательных (Ньютона). Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ?. Суть метода Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b) Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1 Определить значение функции в точке х1, через эту точку провести касательную получим точку х2 Повторим процесс n раз Если процесс сходящийся то xn можно принять за искомое значение корня Условиями сходимости являются: |f(xn)|?? |xn-xn-1|?? Приведем ГСА метода касательных: 5п. Задание для РГР Вычислить корень уравнения На отрезке [2,3] с точностью ?=10-4 методами половинного деления, итерации, касательных. 6 п. Сравнение методов Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой вычислительного процесса, скоростью сходимости. Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости. Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих функций. Метод касательных применим для функций с большой крутизной, а его недостатком является определение производной на каждом шаге. ГСА головной программы, методы оформлены подпрограммами. Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона. CLS - a = 2: b = 3: E = .0001 DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8 F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b) IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "УТОЧНИТЬ КОРНИ": END GOSUB 1 x0 = a IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "НЕ СХОДИТСЯ" DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35 GOSUB 2 x0 = b F = FNZ(x0) DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _ IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x))) < then print “не сходится”:end GOSUB 3 END '=========Метод половинного деления======== '=========Метод итерации========== '========Метод касательных=======