Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений
4.1. Уравнения с одной переменной. Теорема Виета
Понятие уравнения. Равносильность уравнений.
Равенство с переменной
f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной х. Всякое значение переменной, при котором f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней. Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны; уравнения и равносильны, так как корней не имеют.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Линейные уравнения.
Линейным уравнением с одной переменной х
называют уравнение вида ax = b, где a,b О R; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.Для линейного уравнения
ax = b существуют три случая:1) а № 0; в этом случае корень равен ;
2) а = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = 0, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения является любое действительное число;
3) а = 0, b № 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = b, оно не имеет корней.
Квадратное уравнение. Теорема Виета.
Квадратным уравнением
называется уравнение вида, где a, b, с О R (a № 0). (1)
Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член. Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1, то квадратное уравнение
(2)
называется приведенным, его дискриминант
.Теорема 3.
А) Если
D і 0, то квадратное уравнение (1) имеет корни , определяемые формулой(3)
или формулами
, , (4)
причем если
D > 0, то , т. е. уравнение (1) имеет два различных действительных корня; если D = 0, то - уравнение имеет два совпадающих корня.Б) Если
D < 0, то квадратное уравнение (1) не имеет действительных корней.В случае приведенного квадратного уравнения и формулы корней имеют вид
, .
Доказательство:
Преобразуем выражение для f(x), применяя метод выделения полного квадрата:(5)
А) Если применить при
D і 0 формулу разности квадратов, то выражение для квадратного трехчлена преобразуется к виду,
где определяются из формулы (4). Так как
a № 0, тоили , в случаи А) теорема доказана.
Б) При D < 0 очевидно, что при любом действительном х выражение, на которое умножается а в (5), строго положительно, а потому
"
а > 0 (а < 0) f(x) > 0 (f(x) < 0),следовательно, ни при каком действительном значении х квадратный трехчлен не обращается в 0, стало быть, при
D < 0 квадратное уравнение (1) не имеет действительных корней.Теорема 3 полностью доказана.
Теорема 4 (Виета).
Если , соответственно
, - корни квадратного уравнения (1) или (2), то; (6)
(7)
в случае общего (приведенного) квадратного уравнения.
Доказательство:
Равенство (6) получается в результате непосредственного сложения выражений, для , определяемых из (4).
Для доказательства (7) перемножим определяемые из (4) выражения для , получим, применяя формулу разности квадратов и выражение для дискриминанта
D,Теорема Виета доказана.
Обратить внимание на случай уравнения вида
Если , то формула корней этого уравнения имеет вид
.
Теорема 5 (Обратная теорема Виета).
Если числа таковы, что
, , где p,q - действительные числа , то - корни квадратного уравнения .