Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Неравенства
6.3. Дополнительные неравенства
Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.
Пусть даны два числа
a, b О R. Число называется их средним арифметическим.Пусть
a, b О R, a і 0 и b і 0. Число называется их средним геометрическим.Теорема 9.
Пусть
a, b О R : a і 0 и b і 0(1)
причем "
і " обращается в " = " Ы a = b.Доказательство.
Достаточно показать, что(2)
Преобразуя левую часть неравенства (2), получаем
,
очевидно. Из последнего неравенства уже ясно, что в неравенстве (1) имеет место равенство в том и только в том случае, когда
.Дополнительные вопросы: доказать неравенства
, ,
где
a, b, c, d і 0 (первое вытекает из теоремы 9 : , где , , а второе следует из первого при ).Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
Пусть число
a № 0. Число называется обратным к числу a.Так как , то
a - число, обратное числу , следовательно, числа a и 1/a - взаимно обратные.Теорема 10.
Пусть
a № 0, тогда,если
a > 0, то , (3)если
a < 0, то , (4)причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда соответственно
a = 1, a = -1.Доказательство.
В случае a > 0, справедливость неравенства (3) сразу вытекает из (1) при , а так как в данном случае a = b Ы a = 1, то в случае a > 0 теорема доказана.В случае
a < 0 можно воспользоваться доказанной первой частью теоремы применительно к , из которой вытекает , а так как в этом случае только при a = -1, теорема доказана и для этого случая.