Материалы сайта
Это интересно
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Числа
2.4. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями
Определение степени.
Степенью
с натуральным показателем называется выражение , где число называется основанием степени, а число называется показателем степени.Пусть , то
;если то
; не определено., где ; не определено.
Если Ю (так как );
, при любом . Следовательно, и (где Z - множество целых чисел) имеем:
.
Свойства степеней.
Для любых целых чисел
m и p:.
Свойства 1 - 5 справедливы , не равных 0; свойство 6 - указанных
.Доказательства:
1.(а)
:(б)
:(в)
: .2.(а)
:(б)
:(в)
: .3. (а)
(б)
: ,рассматривается аналогично,
:
(в) , тогда
:(по свойству 4., случаи (а) и (б), доказательства которых не опираются на свойство 3., случаи (в) и (г)),
рассматривается аналогично
(г) , тогда :
.
Ю
свойство 3. полностью доказано.4. (a) m>0, p>0 :
m>p :
m = p :
m<p :
(б)
m>0, p = 0 :
m = 0, p>0 :
(в) остальные случаи свойства 4. вытекают из свойства 3. :
Ю .
5. (а)
m>0, p>0 :(б)
m>0, p = 0 :m = 0, p>0 :
m = p = 0 :
(в)
mЈ 0, pі 0 Ю m = -n, n і 0 :mі 0, pЈ 0 Ю p = -q, q і 0 :
mЈ 0, pЈ 0 Ю m = -n, p = -q, n,q і 0 :
Ю
свойство 5. полностью доказано.m<0 Ы -m>0, далее также, как и ниже, для случая отрицательного рационального показателя.
Таким образом все свойства степеней с целыми и, в частности, с натуральными показателями доказаны.